Videoen knyttet til denne overskriften finner det her. Hvis du ikke allerede har sett videoen, er det det første du bør gjøre.
I videoen gikk vi igjennom begrepene Utfall og Utfallsrom. Åpner du følgende sider, finner du eksemplene og teksten som vi brukte for å forklare disse begrepene: Side 1 og Side 2.
Du fikk tre oppgaver du skulle løse og levere inn til neste time. Dette er ikke vanskelige oppgaver, men de krever tålmodighet og nøyaktighet. I alt skal du slå tilsammen 300 slag med henholdsvis en terning, en mynt og en tegnestift. Trenger du å se hvordan du skulle sette opp tabellen kan du åpne følgende sider: Side 3, Side 4 og Side 5. Når jeg har gitt disse oppgavene, har det minst tre hensikter:
For det første skal du få en følelse og opplevelse av hva tilfeldighet og sannsynlighet er for noe. Jeg tror du allerede har opplevd dette. Når du eksempelvis slår en terning så mange ganger og samtidig systematisering resultatene, vil terningen etterhvert begynne å snakke til deg. Det er da du må lytte og prøve å forstå.
For det andre har du fått erfaring med å regne ut frekvens og relativ frekvens. Dette er to grunnleggende begreper som det ikke er siste gang du møter.
For det tredje skal vi sammenfatte alle resultatene. Det blir omkring 2000 terningkast, 2000 myntkast og 2000 tegnestiftkast. Etterhvert som vi legger ut nye resultater, kan du følge utviklingen ved å gå inn på følgende Google-regneark: Samleregneark.
Jeg regner med at du har en klar formening om hva sannsynligheten er for å få Mynt eller Krone når vi kaster mynt. Du mener vel også å vite hva sannsynligheten er for å få 6 når vi slår en terning. Synes du at det du finner i samleregnearket bekrefter eller avkrefter dine tidligere antakelser?
Å kaste med en tegnestift har du sikkert liten erfaring med, og det er vel lite trolig at du vet hva sannsynligheten for henholdsvis utfallene Opp og Ned er. På grunnlag av de observasjonene vi har gjort: Kan du si noe om du tror det er like stor sannsynlig for begge utfallene? Eller sagt på en annen måte: Er tegnstiftkast en uniform sannsynlighetsmodell? Hva vil du anslå at sannsynligheten for disse to utfallene er?
onsdag 31. desember 2014
torsdag 18. desember 2014
R2: Analyse av sammensatte trigonometriske funksjoner
I videoen som du finner her, går jeg igjennom hvordan en kan utføre en matematisk analyse av sammensatte trigonometriske funksjoner. Jeg tar da utgangspunkt et analyseskjema som vi tidligere har brukt i Matematikk R1. Du finner analyseskjemet ved å åpne denne linken.
I Matematikk R1 arbeidet vi stort sett bare med polynomfunksjoner, men redskapene som vi da utviklet, viser seg å være så generelle at de også kan brukes på andre typer funksjoner. Det er det vi blant annet demonstrerer i denne videoen.
Analyseskjemaer er nyttige, men en kan raskt bli for skjematiske slik at en overser andre tilnærminger som kan spare en for mye arbeid. I videoen er det funksjonen
Denne utfordringen håper jeg at du tar. Løsningen ligger i å bruke vanlige identiteter til å manipulere de trigonometriske uttrykkene. Seinere kan du komme i situasjoner der du har stor nytte av denne erfaringen. Hvis du mot formodning ikke skulle finne en løsning, kan du se på min løsning.
I Matematikk R1 arbeidet vi stort sett bare med polynomfunksjoner, men redskapene som vi da utviklet, viser seg å være så generelle at de også kan brukes på andre typer funksjoner. Det er det vi blant annet demonstrerer i denne videoen.
Analyseskjemaer er nyttige, men en kan raskt bli for skjematiske slik at en overser andre tilnærminger som kan spare en for mye arbeid. I videoen er det funksjonen
som vi vier vår oppmerksomhet. Etter å arbeidet meg i gjennom hele skjemaet og tegnet grafen, oppdager jeg at dette er en harmonisk svingning. Hadde jeg klart å oppdage dette før jeg satte i gang analysen, ville jeg ha kunnet løst problemet mye raskere. I videoen utfordrer jeg både mine elever og meg selv til å finne et annet uttrykk for funksjonen på formen
The Scottish Café
Det meste av det vi snakker om i denne bloggen er matematikk, og da særlig de matematiske problemer og utfordringer som elever og lærere møter i den videregående skoles matematikkundervisning.
Du spør deg kanskje hva The Scottish Café har med dette å gjøre, og det er en morsom og interessant historie:
The Scottish Café var en virkelig kafé i byen Lvov. Lvov, som idag kalles Lviv og ligger i Ukraiana, var i mellomkrigstiden en by i Polen, Kawiarnia Szkocka var det polske navnet på kafeen. Tilfeldighetene ville det slik at en gruppe matematikere begynte å samles der etter at de hadde hatt sine møter i den matematiske foreningen. Flere av disse matematikerne hadde tilknytning til det polytekniske universitetet i byen, og møtene ble holdt på universitetet. The Scottish Cafésom lå like ved, og dermed kunne ting begynne å skje.
Slike spisesteder som The Scottish Café var viktige på denne tiden for ofte bodde folk svært trangt. Leiligheten eller hybelen som de hadde dugde ofte ikke til annet enn å sove i. Skulle en treffe andre, måtte en ut, og da var et kaffehus eller kafe som The Scottish Café et godt alternativ. Det kostet ikke annet enn en kopp kaffe å være der, og det hadde de fleste råd til. På slike steder kunne en lese aviser, spille kort, sjakk og andre brettspill. Selvsagt kunne de også møte venner og samtale om ulike emner.
Når matematikere samles unngår en sjelden at det snakkes om matematikk, men det er når nye problemer lanseres at diskusjonen virkelig kan ta av. Kafeen hadde mormorbord, og disse viste seg egnede til å skrive på. Dette likte verten bare sånn passelig til å begynne med, men gjester er gjester, og det ble derfor tolerert. Etter en stund fikk noen ideen om å heller bruke en bok, og slik oppsto The Scottish Book som i dag betraktes som én av de mest betydningsfulle matematikkbøker som ble skrevet i det forrige århundret.
Boken var opprinnelig en vanlig kladdebok. Den var inndelt slik at uansett hvor du åpnet boken, var venstre side viet beskrivelsen av et matematisk problem. Problemet var så underskrevet problemgiveren som oftest også lovte en premie til problemløseren. Høyre side sto så åpen slik at den som løste problemet kunne skrive inn løsningen.
Mange kjente matematikere kan knyttes til The Scottish Café: Stefan Banach, Hugo Steinhaus og Stanislav Ulam m. fl. Alle disse har hatt stor betydning for matematikkens utvikling i det forrige århundre.
Polen hadde en stor jødisk befolkning, men i mellomkrigstiden, i forbindelse med at Polen gjenoppstod som selvstendig stat, ble landet sterkt preget av antisemittisme. Dette fikk stor innvirkning på jøders mulighet til å delta i samfunnslivet. Matematikk var en vitenskap som det var relativt uproblematisk for jøder å engasjere seg i, men de måtte være forsiktige. Mange av de matematikerne som kom til kafeen var jøder. Mens de på universitetene måtte være forsiktige, kunne de i The Scottish Café derimot snakke fritt, og det var kanskje derfor at kafeen ble så betydningsfull.
Når jeg har et nært forhold til miljøet rundt denne kafeen, er det fordi jeg skrev min masteroppgave med utgangspunkt i dette miljøet og en liten del av matematikken som de utviklet.
Det er noe av atmosfæren fra denne kafeen jeg håper å gjenskape i denne bloggen. Særlig retter den seg mot mine egne elever, som her finner kommentarer og refleksjoner til det som vi for tiden arbeider med i matematikktimene. De vil også muligheter til å komme med spørsmål og kommentarer. Om du ikke er elev, men har spørsmål, vil det være stor sannsynlighet for at jeg også kan svare deg.
Nå håper jeg at du fortsetter å besøke kafeen med et åpent sinn for det er slik vi kan lære matematikk sammen.
Du spør deg kanskje hva The Scottish Café har med dette å gjøre, og det er en morsom og interessant historie:
The Scottish Café var en virkelig kafé i byen Lvov. Lvov, som idag kalles Lviv og ligger i Ukraiana, var i mellomkrigstiden en by i Polen, Kawiarnia Szkocka var det polske navnet på kafeen. Tilfeldighetene ville det slik at en gruppe matematikere begynte å samles der etter at de hadde hatt sine møter i den matematiske foreningen. Flere av disse matematikerne hadde tilknytning til det polytekniske universitetet i byen, og møtene ble holdt på universitetet. The Scottish Cafésom lå like ved, og dermed kunne ting begynne å skje.
Slike spisesteder som The Scottish Café var viktige på denne tiden for ofte bodde folk svært trangt. Leiligheten eller hybelen som de hadde dugde ofte ikke til annet enn å sove i. Skulle en treffe andre, måtte en ut, og da var et kaffehus eller kafe som The Scottish Café et godt alternativ. Det kostet ikke annet enn en kopp kaffe å være der, og det hadde de fleste råd til. På slike steder kunne en lese aviser, spille kort, sjakk og andre brettspill. Selvsagt kunne de også møte venner og samtale om ulike emner.
Når matematikere samles unngår en sjelden at det snakkes om matematikk, men det er når nye problemer lanseres at diskusjonen virkelig kan ta av. Kafeen hadde mormorbord, og disse viste seg egnede til å skrive på. Dette likte verten bare sånn passelig til å begynne med, men gjester er gjester, og det ble derfor tolerert. Etter en stund fikk noen ideen om å heller bruke en bok, og slik oppsto The Scottish Book som i dag betraktes som én av de mest betydningsfulle matematikkbøker som ble skrevet i det forrige århundret.
Boken var opprinnelig en vanlig kladdebok. Den var inndelt slik at uansett hvor du åpnet boken, var venstre side viet beskrivelsen av et matematisk problem. Problemet var så underskrevet problemgiveren som oftest også lovte en premie til problemløseren. Høyre side sto så åpen slik at den som løste problemet kunne skrive inn løsningen.
Mange kjente matematikere kan knyttes til The Scottish Café: Stefan Banach, Hugo Steinhaus og Stanislav Ulam m. fl. Alle disse har hatt stor betydning for matematikkens utvikling i det forrige århundre.
Polen hadde en stor jødisk befolkning, men i mellomkrigstiden, i forbindelse med at Polen gjenoppstod som selvstendig stat, ble landet sterkt preget av antisemittisme. Dette fikk stor innvirkning på jøders mulighet til å delta i samfunnslivet. Matematikk var en vitenskap som det var relativt uproblematisk for jøder å engasjere seg i, men de måtte være forsiktige. Mange av de matematikerne som kom til kafeen var jøder. Mens de på universitetene måtte være forsiktige, kunne de i The Scottish Café derimot snakke fritt, og det var kanskje derfor at kafeen ble så betydningsfull.
Når jeg har et nært forhold til miljøet rundt denne kafeen, er det fordi jeg skrev min masteroppgave med utgangspunkt i dette miljøet og en liten del av matematikken som de utviklet.
Det er noe av atmosfæren fra denne kafeen jeg håper å gjenskape i denne bloggen. Særlig retter den seg mot mine egne elever, som her finner kommentarer og refleksjoner til det som vi for tiden arbeider med i matematikktimene. De vil også muligheter til å komme med spørsmål og kommentarer. Om du ikke er elev, men har spørsmål, vil det være stor sannsynlighet for at jeg også kan svare deg.
Nå håper jeg at du fortsetter å besøke kafeen med et åpent sinn for det er slik vi kan lære matematikk sammen.
Abonner på:
Innlegg (Atom)