1T-Ligninger

Noe av det du kommer til å bruke mest tid på i matematikk i år, er å løse ligninger. Vi skal lære å løse flere typer ligninger, men felles for alle ligninger er at de kan sammenlignes med en gammeldags skålvekt:

Alle ligninger har et likhetstegn. En ligning balanserer på likhetstegnet på samme med  som en skålvekt. Når vi løser ligninger må vi alltid sørge for at vi gjør det samme på begge sider av ligningen. Det er slik vi løser ligninger.

Du finner videoen til dette emnet her.

Etter å ha sett videoen, bør du løse ligninger. Som i det meste vi gjør, er det øving som gjør underverker.

1T-Grunnleggende algebra

Vi arbeider i matematikk på forskjellige måter. Å telle er eksempelvis den første matematikken du lærer og i løpet av dine første leveår lærer du de første tallene. Vi har allerede vært igjennom hvordan de fire regningsartene kan brukes til å arbeide med tall. Da dine oldeforeldre gikk på skolen, lærte de regning og det var nettopp å bruke de fire regningsartene. Matematikk var er ukjent begrep for de fleste.

 I algebra lærer hvordan vi kan bruke symboler istedenfor tall og sammen med tall. Ved å innføre et symbol som for eksempel x,  kan vi behandle det som et vanlig tall, men det kan representere mange forskjellige tall samtidig. Dette er det viktig at du forstår. 

Det er mye å holde orden på, og da trenger vi arbeide systematisk.  Det blir mindre å passe på, hvis du fører stykkene på en oversiktlig måte. Parenteser av ulike typer bruker vi for å holde orden.

Går du inn på linken her, finner du videoen for dette emnet. Etterpå bør du i gang med oppgaver så raskt som mulig. 

1T-Regning med brøk

Å regne med brøk har du gjort helt siden du gikk på barneskolen. Her hos oss vil du også få bruk for brøkregning. Det er derfor viktig at du nå tar deg tiden du trenger for å bli trygg i brøkregning.

Vi snakker ofte om de fire regningsartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Du trenger å kunne addere og subtrahere brøker, og du trenger å kunne multiplisere og dividere brøker. Det kan være tjenlig å systematisere arbeidet med brøk slik:

Det å  addere eller subtrahere to brøker, er ofte det som er vanskeligst. Et nøkkelbegrep i denne sammenhengen er fellesnevner. For å kunne addere eller subtrahere to brøker, må de ha fellesnevner. Å multiplisere og dividere brøker er mye lettere. Her er det ikke å tenke på fellesnevner.

Når du nå bør se videoen om emnet, er det bra om du reflekterer over dette. Du finner videoen her.

Du trenger øving for å lære dette skikkelig, så det er bare å sette i gang med å løse oppgaver. Etterhvert bør du løse oppgaver uten å se i læreboka.  

R1-Binomisk sannsynlighetsfordeling

Binomiske sannsynlighetsfordeling har mye til felles med hypergeometrisk fordeling, men det er en viktig forskjell:

I eksemplet jeg viste på hypergeometrisk sannsynlighet, handlet det om å trekke fra en hatt med  20 lodd hvor 3 lodd var vinnerlodd. Når du starter er sannsynligheten for å vinner 3/20. Når du først har trukket ett lodd, endrer sannsynligheten seg for å trekke et vinnerlodd, uansett om du har trukket et vinnerlodd eller ikke-vinnerlodd. Årsaken er ganske åpenbar: Når du har trukket ett lodd, er det 19 lodd igjen. Da er sannsynligheten for å vinne enten 2/19 eller 3/19, avhengig om du har første gang har trukket et vinnerlodd eller ikke.


La oss si at vi skal gjennomføre en rekke med n identiske forsøk. Vi kan bruke en binomisk sannsynlighetsmodell hvis følgende tre kriterier alle er oppfylt:

1. Vi kan skille mellom to ulike utfall, suksess og fiasko.
2. Sannsynligheten for suksess er like stor ved hvert forsøk. (Dette gjelder ikke for hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling)
3. De ulike forsøkene er uavhengig av hverandre.   

Vi lærer en enkel formel som vi kan bruker for å regne ut binomiske sannsynlighetsfordelinger, se side 29, gul firkant. De fleste lærer raskt å bruke denne formelen.  Derimot er det en større utfordring  å begrunne at vi har en binomisk sannsynlighetsfordeling. Vi skal også lære hvordan vi gjør de samme utregningene i GeoGebra.

Videoen til dette emnet finner du her.

Så gjenstår det å regne oppgaver.

R1-Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling

Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling lar seg enklest forklare ved et eksempel:

Eksempel
La oss si at vi i et hatt har 20 lodd hvor tre av loddene er vinnerlodd. Du skal trekke ut tre lodd. Hva er sannsynligheten for at du vinner på to av loddene?

Dette eksemplet kan løses ved hjelp av hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Vi kan dele loddene i to atskilte typer, vinnerlodd og ikke-vinnerlodd. Når du har trukket et lodd, blir det ikke lagt tilbake. Hypergoemetrisk og binomisk sannsynlighetsfordeling ligner på hverandre. Det er en vesentlig forskjell mellom dem. Når du har forstått det, har du kommet langt i forståelsen av disse sannsynlighetsfordelingene.

De fleste lærer seg ganske raskt  å bruke formelen for hypergeometrisk fordeling som du finner s. 27, gul firkant. Husk at før du bruker formelen, må du ha begrunnet at vi har en hypergeometrisk fordeling. Vi skal også lære hvordan vi gjør de samme utregningene i GeoGebra.

Du finner videoen til dette  oppslaget om du går inn på linken her.

Når du har sett videoen, bør du prøve deg på oppgaver.

R1-Sannsynlighetsfordelinger

Det finnes mange forskjellige sannsynlighetsfordelinger. Vi skal særlig bli kjent med to slike, hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling og binomisk sannsynlighetsfordeling. Vi vil lære om disse fordelingene i de to neste oppslagene, men i dette oppslaget skal vi lære hva som er felles for alle sannsynlighetsfordelinger.

I alle sannsynlighetsfordelinger gjelder at summen av alle sannsynlighetene er lik 1. Dermed har vi en enkel metode for å sjekke om vi  har en sannsynlighetsfordeling

Videoen tilknyttet dette emnet finner du her.

Etter å ha sett videoen, bør du som vanlig prøve deg på noen oppgaver.

R1-Bayes' setning

Bayes' setning er en setning som vi får bruk for i en del sammenhenger når vi arbeider med betinget sannsynlighet. Du bør både merke deg hvordan du utleder setningen, se øverst på side 23.

Videoen tilknyttet dette emnet finner du om du går inn på linken her.

Etter å ha sett videoen bør du regne noen oppgaver. Lykke til

R1-Produktsetningen

Dette oppslaget er også repetisjon av stoff vi gikk igjennom i fjor.

1. Husker du definisjonen av disjunkte hendinger?
2. Husker du definisjonen av uavhengige hendinger?

Så møter vi igjen produktsetningen. Her må vi merke oss at det finnes to utgaver av denne setningen.

1. Produktsetningen for uavhengige hendinger.
2. Produktsetningen for avhengige hendinger.

I tillegg får vi et gjensyn med addisjonssetningen for disjunkte hendinger.

Ved  å gå inn på denne linken, finner du en video som omhandler dette oppslaget. Hvis du ønsker å se de videoene vi brukte i fjor, kan du gå inn på linkene link2 og link3.

Som vanlig, bør du nå gå igang med oppgaver

Lykke til !

1T-Regnerekkefølge

Et oppgave som 1+2∙3, har flere mulige svar, men bare ett er riktig. For at vi skal finne dette svaret, må vi kjenne til og forstå hva regnerekkefølge betyr. I læreboka angis følgende regnerekkefølge.

Du kan prøve deg selv på noen oppgaver. Hvis det går greit, fortsetter du bare å regne. På et eller annet tidspunkt er det greit om du ser videoen som du finner her. Du vil se at jeg har et litt annen tilnærming til stoffet enn læreboka.

I læreboka er det foreslått at du bruker følgende regnerekkefølge

1. Regn ut potenser
2. Multipliser og divider
3. Regn sammen( Adder, subtraher)

For at du skal forstå hva jeg nå har skrevet, må du kjenne til begrepene potenser, multiplikasjon, divisjon, addisjon og subtraksjon. Husker du hva disse begrepene betyr?

Hva blir svaret på oppgaven ovenfor?

1T-Prosent

Prosentregning har du lært i grunnskolen, og dette oppslaget lærer deg ikke så mye nytt. Det er ikke laget en egen video for dette oppslaget. Vi gjennomgår det meste på skolen.

Legg merke til at vi bruker prosent på forskjellige måter. Du kan få oppgaver som

1. Du tjener kr. 120 i timen og får en lønnsøkning på 10 %. Hva blir den nye lønna?
2. En vare koster kr. 150 etter å ha blitt satt ned med 12 %. Hva var den opprinnelige prisen? 
3. I en klasse på 24 elever er 11 gutter. Hvor mange prosent gutter er det i klassen?

Det er viktig at du raskt lærer deg forskjellene på disse måtene å bruke prosent på. Her gjøres det unødvendig mange feil.

Lykke til!

1T-Veien om 1

Første kapittel i læreboka vår har overskriften "Matematikken rundt oss". I dette kapitlet vil lære om hvordan matematikken kan være til hjelp for oss når vi skal løse ulike typer problemer i hverdagen vår.

I det første oppslaget handler det om å bruke metoden "veien om 1". Vi går igjennom noen eksempler på denne metoden i de to første timene, men går du glipp av dette, er det ingen ulykke. Dette er stoff som du helt sikkert har møtt tidligere. Det går også greit å lese teksten i læreboka. Det viktige er at du kommer i gang med oppgaveløsning.

Hvis det er oppgaver du ikke klarer å løse, er det viktig at du spør om hjelp.

Seinere vil du finne link til en video, men det mangler her. Du vil finne første video når du kommer til oppslag 1.3 Regnerekkefølge.

Lykke til!

R1-Betinget sannsynlighet. Uavhengige hendinger

I dette oppslaget er også mye av stoffet repetisjon fra forrige skoleår. Det å forstå betinget sannsynlighet er noe av det som er mest krevende i dette kapitlet. Om du må streve for å forstå dette, kan du trøste deg med at du ikke er den første.

Det finnes ikke noen enkel måte å lære dette på. Du må først gå i gang med å lære deg definisjonene. I læreboka s. 18 og 19 finner du  gule firkanter som definerer Betinget sannsynlighet og Uavhengige hendinger.

I sannsynlighetsregning fikk vi bruk for den del av matematikken som kalles mengdelære. Her lærte vi også en del nye begreper og ny notasjon. Dette er det greit å repetere nå:

For å forstå og kunne bruke formelen som betinget sannsynlighet:

,

er det nødvendig å ha forstått snitt og union i mengdelæren. 

Dette er altså noen de utfordringene du møter i dette oppslaget, men nå er det sikkert på tide å se videoen som omhandler dette emnet. Du finner den her.

Nå bør du prøve deg selv i å løse oppgaver. Prøv deg på oppgavene 1.24-1.28. Du kan også finne andre oppgaver om du ønsker. 

I neste time vil vi først bruke sette av tid til å løse oppgaver du ikke har fått til. Så blir det avsatt til oppgaveløsning. Mot slutten av timene vil det gjennomføre en test om du behersker dette stoffet. Det gjelder både dette og foregående oppslag. 

Lykke til!

R1-Sannsynlighet ved opptelling

I dette oppslaget går vi igjennom stoff som egentlig er repetisjon. Vi lærte sist år om Uniforme sannsynlighetsmodeller. Det er dette vi går vi videre på i dette oppslaget. Det meste av dette er altså repetisjon.

I en Uniform sannsynlighetsmodell, har alle enkeltutfall like stor sannsynlighet.  Vi lære oss å bruke formelen  for uniform sannsynlighet:

Da blir det ganske enkelt å beregne sannsynlighet. Vi må bare kunne telle gunstige og mulige utfall.

Du finner videoen til dette oppslaget ved å gå inn på linken her.

Gå så i gang med å løse oppgaver 1.24-1.28. Det er viktig at du ikke gir deg så lett. Prøv flere ganger om du får problemer. Du kan også se videoen pånytt, så du er sikker på at du har forstått stoffet.

I  starten av neste time vil regne igjennom eventuelle oppgaver som du og andre ikke har fått til. Det er da viktig at du har prøvd deg skikkelig for å få maksimalt utbytte av denne gjennomgangen.

Lykke til!

R1-Antall kombinasjoner

I dette oppslaget får vi igjen presentert nye begreper. Det nye begrepene er Uordnede utvalg og Antall kombinasjoner. Når noe er ordnet har rekkefølgen betydning. I et uordnet utvalg har rekkefølgen ikke noen betydning:

Hvis du er blant tre som har vunnet et tur til Amerika, har det ingen betydning om du blir trukket ut først eller sist. Uansett kommer du med på turen. Hvis premiene i et lotteri er på kr. 20 000, kr. 10 000 eller kr. 500, har det betydning hvilken premie du vinner.

Begrepet Antall kombinasjoner har en spesiell notasjon som ser slik ut:

Vi kan lese dette på forskjellige måter. I læreboka  foreslår de to måter: "Av n velg r" eller "n over r". Jeg er skeptisk til den siste formuleringen fordi denne kan forveksles med brøk. Brøken fem todeler leser vi som kjent "Fem over to".

I annen litteratur brukes Binominalkoeffisienten på samme måte som Antall kombinasjoner. Når du seinere skal studere matematikk, vil det være denne formuleringen du møter.  En alternativ lesemåte som ikke er til å misforstå, er  Binominalkoeffisienten n over r.

Det er igjen fint om du prøver å få innhold i de nye begrepene før du ser videoen som du finner her.

Gå så igang med å løse oppgavene 1.14-1.18. Hvis dette går greit, kan du også prøve deg på oppgaver som du finner i arbeidsplanen i itslearning.

R1-Antall permutasjoner

Permutasjoner er et nytt begrep som du nå skal lære deg. Begrepet permutasjoner er nært knyttet til et annet nytt begrep: Utvalg uten tilbakelegging.  Det siste nye begrepet Ordnet utvalg. Som du vil se, når du slår opp på sidene 12-13, har alle disse begrepene fått hver sin gule firkant. Dette er et tegn på at disse begrepene bør læres så raskt som mulig.

Det er ikke nok å bare igjenkjenne dem. Du bør arbeide så mye med at de etter hvert begynner å sitte i fingrene. Studer derfor litt nøye disse firkantene før du du ser på videoen som du finner ved å gå inn på linken her. I innledningen i videoen oppdaget jeg en trykkfeil. Denne videoen tilhører selvsagt Matematikk R1.

Etter å ha sett videoen, er det bare å gå i gang med å løse oppgaver. Alle oppgavene 1.7-1.13 er relevante oppgaver som du bør løse før du kommer på skolen. I starten av timene vil jeg åpne for spørsmål, slik at du får hjelp med oppgaver som du ikke har fått til. 

Den testen som jeg forberedte deg på i forrige innlegg, vil også dekke dette oppslaget. Testen vil bli gjennomført på slutten av de to arbeidsøktene vil skal ha på onsdag. 

Hvis du får problemer med noen oppgaver når du sitter hjemme, er det ingen grunn til bekymring. Det du bør gjøre hvis du står fast, er å prøve igjen. Hvis det fortsatt ikke blir riktig, kan du forsøke andre oppgaver. Det kan også være tjenlig å se videoen pånytt. Da kan det hende at du forstår ting som du ikke forsto ved første gangs gjennomgang. 

Når du så kommer på skolen, vil du få hjelp av meg til å løse oppgaven. Det at du har slitt en del med oppgaven på forhånd, vil sikre at du både forstår og husker løsningen til du skal løse en lignende oppgave seinere. 

Lykke til med arbeidet!

R1- Mulitplikasjonsprinsippet. Fakultet

Første kapittel i læreboka vår Sigma R1 har overskriften "kombinatorikk og sannsynlighet". Sannsynlighetsregning har vi arbeidet med før, men kombinatorikk er nytt. men som du vil erfare, er dette bare delvis nytt.

Kombinatorikk handler grovt sett om å telle og å telle på smarte måter. Dette krever en del omtanke, men også mye trening.

I det første oppslaget er overskriften Multiplikasjonsprinsippet. Fakultet. Når du slår opp i læreboka, vil du se at både Multiplikasjonsprinsippet, Utvalg med tilbakelegging og Fakultet har fått hver sin gule firkant. Når du går i gang med arbeidet, kan det være tjenlig å studere teksten i disse firkantene litt og gjøre deg noen tanker om hva de betyr. Dernest bør du se videoen som du finner ved å gå inn på linken her.

Når du har sett videoen, bør du selv gå i gang for å løse oppgaver. Du bør på eksemplene s. 10-11 og oppgavene 1.1-1.5.

I onsdagstimene vil det bli gjennomført en test som viser om du har forstått disse grunnleggende begrepene, men før det vil vi sammen arbeide med oppgaver som dere ikke har fått til hjemme. Det vil også bli satt av tid til å arbeide med oppgaver.

Lykke til!